快速傅里叶变换（FFT）基于分治思想，采用迭代与位逆序置换实现高效DFT计算。1. 使用std::complex表示复数，利用单位根ω_N^k的周期性加速运算；2. 通过位逆序置换预处理输入，如8点FFT下标重排为[0,4,2,6,1,5,3,7]，确保内存连续访问；3. 迭代实现中，从长度2开始逐层合并，每层用单位根旋转因子更新值，支持原地计算；4. 应用于多项式乘法时，将系数转为频域相乘再逆变换，时间复杂度O(n log n)。
快速傅里叶变换（FFT）是离散傅里叶变换（DFT）的高效算法，广泛用于信号处理、多项式乘法和数值计算。C++中实现FFT通常采用分治思想，最常见的是基于“**迭代+位逆序置换**”的Cooley-Tukey算法。
1. 基本原理与复数支持
FFT处理的是复数序列，因此需要使用std::complex来表示复数。核心是将长度为N（要求N是2的幂）的DFT分解为更小的DFT，利用单位根的周期性和对称性减少计算量。
单位根定义为：ω_N^k = exp(-2πi * k / N)，其中i是虚数单位。
2. 位逆序置换（Bit-reversal Permutation）
递归版FFT自然完成子问题划分，但迭代版需要预先将输入数组按位逆序重排。例如，8点FFT中，下标二进制表示如下：
- 0: 000 → 000: 0
- 1: 001 → 100: 4
- 2: 010 → 010: 2
- 3: 011 → 110: 6
- 4: 100 → 001: 1
- 5: 101 → 101: 5
- 6: 110 → 011: 3
- 7: 111 → 111: 7
重排后顺序为 [0,4,2,6,1,5,3,7]，这样每一层合并都能连续访问内存。
3. 迭代实现FFT
以下是一个完整的C++实现，支持原地计算：
#include#include #include #include using namespace std; using Complex = complex
const double PI = acos(-1); // 位逆序置换 void bitReverse(vector
& a) { int n = a.size(); int bits = 0; while ((1 << bits) < n) bits++; for (int i = 0; i zuojiankuohaophpcn n; i++) { int rev = 0; for (int j = 0; j zuojiankuohaophpcn bits; j++) if (i & (1 zuojiankuohaophpcnzuojiankuohaophpcn j)) rev |= 1 zuojiankuohaophpcnzuojiankuohaophpcn (bits - 1 - j); if (i zuojiankuohaophpcn rev) swap(a[i], a[rev]); }}
// 快速傅里叶变换（原地迭代版） void fft(vector
& a, bool invert) { int n = a.size(); bitReverse(a); for (int len = 2; len zuojiankuohaophpcn= n; len zuojiankuohaophpcnzuojiankuohaophpcn= 1) { double angle = 2 * PI / len * (invert ? 1 : -1); Complex wlen(cos(angle), sin(angle)); for (int i = 0; i zuojiankuohaophpcn n; i += len) { Complex w(1); for (int j = 0; j zuojiankuohaophpcn len / 2; j++) { Complex u = a[i + j]; Complex v = a[i + j + len/2] * w; a[i + j] = u + v;a[i + j + len/2] = u - v; w *= wlen; } } } if (invert) { for (Complex& x : a) x /= n; }
}
a[i + j + len/2] = u - v;
w *= wlen;
}
}
}
if (invert) {
for (Complex& x : a)
x /= n;
}4. 使用示例：多项式乘法
FFT常用于高效计算两个多项式的卷积（即系数乘法）：
vectormultiply(const vector & a, const vector & b) { vector fa(a.begin(), a.end()), fb(b.begin(), b.end()); int n = 1; while (n < a.size() + b.size()) n <<= 1; fa.resize(n); fb.resize(n); fft(fa, false); fft(fb, false); for (int i = 0; i zuojiankuohaophpcn n; i++) fa[i] *= fb[i]; fft(fa, true); vectorzuojiankuohaophpcndoubleyoujiankuohaophpcn result(n); for (int i = 0; i zuojiankuohaophpcn n; i++) result[i] = round(fa[i].real()); // 取实部并四舍五入 return result;}
输入两个系数向量，输出它们的卷积结果，时间复杂度从O(n²)降至O(n log n)。
基本上就这些。注意FFT要求长度为2的幂，如果不是可补零扩展。该实现稳定且易于集成到信号处理流程中。
