求解含三个未知数的二元线性方程组：通解构造与NumPy实现_技术教程

本文讲解如何正确处理变量数多于方程数的线性系统（如2方程3未知数），指出`np.linalg.inv()`不适用的原因，演示参数化通解推导，并给出基于numpy的稳健实现方法。

当面对一个包含 2个方程、3个未知数 的线性系统（例如）：

$$ \begin{cases} 10x + 5y + 0.5z = 100 \ x + y + z = 100 \end{cases} $$

该系统是欠定的（underdetermined）——方程个数（2）小于未知数个数（3），因此不存在唯一解，而是一族无穷多解，构成一条直线（在三维空间中）。此时，无法使用 np.linalg.inv() 或 np.linalg.solve() 直接求解，因为系数矩阵 $ M \in \mathbb{R}^{2\times3} $ 不是方阵，不可逆，且 np.linalg.solve() 要求输入为方阵。

你原来的代码：

M1 = np.array([[10., 5., 0.5], [1., 1., 1.]])                        
v1 = np.array([100., 100.])
np.linalg.inv(M1).dot(v1)  # ❌ 报错：Only square matrices are invertible

会触发 LinAlgError，原因正是 M1 是 $2\times3$ 矩阵，非方阵。

✅ 正确思路是：将其中一个变量设为自由参数（如令 $z = t$），代入消元，得到用 $t$ 表示的通解表达式。

我们手动消元（或借助 sympy 符号计算）可得：

由第二式得：$x = 100 - y - z$
代入第一式：$10(100 - y - z) + 5y + 0.5z = 100$
→ $1000 - 10y - 10z + 5y + 0.5z = 100$
→ $-5y -9.5z = -900$
→ $y = 180 - 1.9z$

再代回得：$x = 100 - (180 - 1.9z) - z = -80 + 0.9z$

因此通解为： $$ \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -80 \ 180 \ 0 \end{bmatrix}

t \begin{bmatrix} 0.9 \ -1.9 \ 1 \end{bmatrix}, \quad t \in \mathbb{R} $$

若需用 NumPy 数值生成特解或验证，可借助 numpy.linalg.lstsq 求最小二乘意义下的基础解（即范数最小的解），或结合 scipy.linalg.null_space 构造通解：

import numpy as np
from scipy.linalg import null_space

A = np.array([[10., 5., 0.5],
              [1.,  1., 1. ]])
b = np.array([100., 100.])

# 求一个特解（最小二乘解，当有解时即为精确解）
particular, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)
# 求零空间基向量（齐次解方向）
null_basis = null_space(A)  # shape: (3, 1)

print("特解 x₀ =", particular)           # ≈ [-80. 180.   0.]
print("零空间基向量 v =", null_basis.flatten())  # ≈ [ 0.9 -1.9  1. ]